三平方の定理（ピタゴラスの定理）は、図１で（直角三角形）、
となることであった。
直角四面体（？）においてもよく似た定理が成立する。
これを四平方の定理と呼ぶことにしよう。三平方の定理では
平方の対象が線分であったが四平方の定理では平方の対象は
面積である。即ち図２において
が成り立つ。
証明）
ベクトルAB=(-a,b,0)
ベクトルCD=(p,q,-c)
ベクトルABとCDは直交するから
AB・CD=-ap+bq=0
ゆえに
ベクトルOD=(p,q)
AB・OD=-ap+bq
だからABとODも直交することがわかる。
直線lの式はx-y平面で考えると
直線ABの式は
よってlとABの交点(x,y)は
（６）を（４）に代入して
よって
よって
よって
よって
（１０）より
よって
よって（２）が証明された。