ローレンツ変換の双曲線表示は、
\[ \begin{pmatrix} x^\prime\\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh{\omega} & -\sinh{\omega}\\ -\sinh{\omega} & \cosh{\omega} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} \] \[ \tanh{\omega}=\frac{v}{c} \]
$\omega$は、ローレンツ角と呼ばれる。
無限小ローレンツ変換を、
\[ \begin{pmatrix} x^\prime\\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} \]
で定義しよう。
\[ \begin{pmatrix} x^\prime\\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} A & B\\ C & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} 1+A & B\\ C & 1+D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} \] \[ = \begin{pmatrix} \cosh{\Delta\omega} & -\sinh{\Delta\omega}\\ -\sinh{\Delta\omega} & \cosh{\Delta\omega} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} \]
\[ 1+A=\cosh{\Delta\omega}=\frac{e^{\Delta\omega}+e^{-\Delta\omega}}{2}\rightarrow 1 \left( \Delta\omega\rightarrow 0の時\right) \]
よって$\Delta\omega\rightarrow 0$の時
\[ 1+A=1 \]
よって
\[ A=0 \]
同様に
\[ D=0 \]
\[ B=-\sinh{\Delta\omega}=\frac{e^{\Delta\omega}-e^{-\Delta\omega}}{2} \] \[ =\frac{e^{i\frac{\Delta\omega}{i}}-e^{-i\frac{\Delta\omega}{i}}}{2} \] \[ =\frac{\cos\frac{\Delta\omega}{i}+i\sin\frac{\Delta\omega}{i}-\left( \cos\frac{\Delta\omega}{i}-i\sin\frac{\Delta\omega}{i} \right)}{2} \] \[ =i\sin\frac{\Delta\omega}{i}=i\sin{\left( -i\Delta\omega \right)}=i\sin{i\Delta\omega} \] \[ =i\cdot i\Delta\omega\frac{\sin{i\Delta\omega}}{i\Delta\omega}\rightarrow -\Delta\omega\cdot 1=-\Delta\omega \]
同様に
\[ C=-\Delta\omega \]
よって無限小ローレンツ変換は
\[ \begin{pmatrix} x^\prime\\ ct^\prime \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & -\Delta\omega\\ -\Delta\omega & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} \] \[ =\left( I+L_0 \right) \begin{pmatrix} x\\ ct \end{pmatrix} \] \[ I= \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \] \[ L_0= \begin{pmatrix} 0 & -\Delta\omega\\ -\Delta\omega & 0 \end{pmatrix} \]