直交座標系 $S(x-y-z)$ の原点に観測者がいる。
直交座標系 $S'(x'-y'-z')$ の原点にも観測者がいる。
直交座標系 $S''(x''-y''-z'')$ の原点にも観測者がいる。
これらは時刻 $t=t'=t''=0$ でピタリと重なるものとする。
$S'$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に速度 $v$ で等速直線運動している。
$S''$ は $S'$ に対して $x$ 軸方向に速度 $v_0$ で等速直線運動している。
$S''$ は $S$ に対して $x$ 軸方向に速度 $v_1$ で等速直線運動している。
ローレンツ変換は $c$ を光速として
\[ x' = \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \tag{1.1} \] \[ y' = y \tag{1.2} \] \[ z' = z \tag{1.3} \] \[ t' = \frac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \tag{1.4} \]
速度の変換式は
\[ u_x' = \frac{dx'}{dt'} = \frac{\frac{dx'}{dt}}{\frac{dt'}{dt}} = \frac{\frac{dx}{dt} - v}{1 - \frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}} = \frac{u_x - v}{1 - \frac{vu_x}{c^2}} \tag{2.1} \] \[ u_y' = \frac{dy'}{dt'} = \frac{\frac{dy'}{dt}}{\frac{dt'}{dt}} = \frac{\frac{dy}{dt}}{1 - \frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}}\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2} = \frac{u_y}{1 - \frac{vu_x}{c^2}}\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2} \tag{2.2} \] \[ u_z' = \frac{dz'}{dt'} = \frac{\frac{dz'}{dt}}{\frac{dt'}{dt}} = \frac{\frac{dz}{dt}}{1 - \frac{v}{c^2}\frac{dx}{dt}}\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2} = \frac{u_z}{1 - \frac{vu_x}{c^2}}\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2} \tag{2.3} \]
(2.1)より
\[ v_0 = \frac{v_1 - v}{1 - \frac{vv_1}{c^2}} \tag{3} \]
であるから、ローレンツ変換
\[ x'' = \frac{x' - v_0t'}{\sqrt{1 - \left( \frac{v_0}{c} \right)^2}} \tag{4.1} \] \[ y'' = y' \tag{4.2} \] \[ z'' = z' \tag{4.3} \] \[ t'' = \frac{t' - \frac{v_0x'}{c^2}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v_0}{c} \right)^2}} \tag{4.4} \]
の(4.1)式に(1.1)、(1.4)、(3)式を代入すると
\[ 1 - \left( \frac{v_0}{c} \right)^2 = \frac{ \{ 1 - \left( \frac{v_1}{c} \right)^2 \} \{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2 \} } { \left( 1 - \frac{vv_1}{c^2} \right) ^2} \tag{5} \]
と計算できるから
\[ x'' = \left( \frac{x - vt}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} - \frac{v_1 - v}{1 - \frac{vv_1}{c^2}}\frac{t - \frac{vx}{c^2}}{\sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2}} \right) / \left( \frac{\sqrt{1 - \left( \frac{v_1}{c} \right)^2} \sqrt{1 - \left( \frac{v}{c} \right)^2} }{1 - \frac{vv_1}{c^2}} \right) \] \[ = \frac{ \left( x - vt \right) \left( 1 - \frac{vv_1}{c^2} \right) - \left( v_1 - v \right) \left( t - \frac{vx}{c^2} \right) } { \sqrt{1 - \left( \frac{v_1}{c} \right) ^2} \{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2 \} } \] \[ = \frac{ x + \frac{vv_1x}{c^2} - vt + \frac{v^2v_1t}{c^2} - v_1t - \frac{vv_1x}{c^2} + vt - \frac{v^2x}{c^2} } { \sqrt{1 - \left( \frac{v_1}{c} \right) ^2} \{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2 \} } \] \[ = \frac{ x \{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2 \} - v_1t \{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2 \} } { \sqrt{1 - \left( \frac{v_1}{c} \right) ^2} \{ 1 - \left( \frac{v}{c} \right) ^2 \} } \] \[ = \frac{ x - v_1t } { \sqrt{1 - \left( \frac{v_1}{c} \right) ^2} } \tag{6} \]
同様に
\[ t'' = \frac{ t - \frac{v_1x}{c^2} } { \sqrt{1 - \left( \frac{v_1}{c} \right) ^2} } \tag{7} \]
と計算できる。
ローレンツ変換のローレンツ変換はローレンツ変換となった。これは、ローレンツ変換に
矛盾がないことを表している。