アインシュタイン方程式は、
Rαβ:リッチテンソル
gαβ:計量
R:スカラー曲率
Λ:宇宙定数
c:光速
G:万有引力定数
Tαβ:エネルギー・運動量定数
物質の内部でない所では、
そして、
を解けばいいことがわかっている。
解は、
これをコトラー解(Kottler解)という。
物体は測地線の方程式に従って運動する。測地線の方程式は、
x0=ct , x1=r , x2=θ , x3=φ
sは固有時であるからs=ctの近似で、
の場合を計算すると、
Λ=0、つまりシュヴァルツシルト解の場合、
M:重力場を作り出す質量(星の質量など)
rgはシュヴァルツシルト半径という。
rがrgに比べて充分大きい場合、
となり、ニュートンの万有引力の法則になる。
Λ>0の場合は万有引力の法則が補正される。
c2Λrは加速度の次元を持つ。
rが大きい場合大きな反ぱつ加速度が働くことがわかる。
参考文献:
1)「ディラック 一般相対性理論」PAMディラック著 江沢洋訳 東京図書 1990年
2)「リーマン幾何学入門」矢野健太郎著 森北出版株式会社 1990年
3)「道具としての相対性理論」一石賢著 日本実業出版社 2005年