ローレンツ変換の双曲線関数表示

ローレンツ変換は、

である。ここで

は省略した。

となる。逆に

が成り立つ関係をローレンツ変換と呼ぶことにしよう。(4)は

と虚数を用いて書ける。これは回転の式に他ならない。つまり、

つまり、

つまり、

つまり、

iθ=ωと置いて、

これがローレンツ変換の双曲線関数表示である。
(1)と(10)を比較して

(11)より

つまり、

とvに対してωを求めることができる。