ラグランジアン密度
(1) L=(1/2)(δμφ)(δμφ)-(1/2)μ2φ2=(1/2)(δμφ)2-(1/2)μ2φ2
をオイラー=ラグランジュ方程式に代入すれば、クライン=ゴルドン方程式
(2) δμδμφ+μ2φ=0
が得られる。従って(1)は、質量μの粒子の場を記述する。(1)の拡張版、
(3) L=(1/2)(δμφ)2-{(1/2)μ2φ2+(1/4)λφ4}
で粒子がタキオンの場合つまりμ2<0、λ>0の場合(μは虚数)
(4) φ=v+η, v=√(-μ2/λ)
とすれば(3)は
(5) L=(1/2)(δμη)2-λv2η2+・・・
=(1/2)(δμη)2-(1/2){√(-2μ2)}2η2+・・・
となり質量√(-2μ2)の場を記述する。
複素スカラー場を考える。
(6) L=(δμφ)*(δμφ)-μ2φ*φ-λ(φ*φ)2
μ2<0、λ>0の場合を考える。
(7) φ={√(1/2)}(v+η+iε)
と置けば(6)は
(8) L=(1/2)(δμε)2+(1/2)(δμη)2+μ2η2+・・・
となりクライン=ゴルドン方程式が出てくるラグランジアン密度を得る。
電磁場(Aμ)を伴った複素スカラー場を考える。
(9) L=(δμ+ieAμ)φ*(δμ-ieAμ)φ-μ2φ*φ-λ(φ*φ)2-(1/4)FμνFμν
(10) φ={√(1/2)}(v+η+iε)={√(1/2)}(v+η)eiε/v (近似)
ゲージ変換しても物理法則は成り立っているはずだから
(11) Aμ→Aμ+(1/ev)δμε
とする。
すると(9)はεを含む項が消えて、
(12) L=(1/2)(δμη)2-λv2η2+(1/2)e2v2Aμ2-(1/4)FμνFμν+・・・
となる。
(13) L=-(1/4)FμνFμν+(1/2)e2v2Aμ2
の部分はプロカラグランジアン密度と呼ばれ、(1/2)e2v2という係数は質量を表し、
電磁波が 質量を持ったとされる。ηに関するラグランジアン密度はクライン=ゴルドン方程式を出す。ηはヒッグス粒子と呼ばれる。
結論：タキオンを含む場に光速粒子（Aμ：ルクソン）を照射するとヒッグス粒子が生まれ、かつその光速粒子は
質量を持った通常粒子（タージオン：光速より小さい速度を持った粒子）となる（ヒッグス機構）。
タキオン+ルクソン=ヒッグス粒子+タージオン